Question

已知函数f(x)=x2+

2

x

+alnx(x＞0)在[1，+∞）上单调递增，则a的取值范围是

a≥0

．

Answer 1

分析：求导函数可得f′(x)=2x-

2

x2

+

a

x

（x＞0），函数f(x)=x2+

2

x

+alnx(x＞0)在[1，+∞）上单调递增，转化为f′(x)=2x-

2

x2

+

a

x

≥0在[1，+∞）上恒成立，分离参数可得a≥-2x²+

2

x

，求出右边函数的最大值，即可得到结论．

解答：解：求导函数可得f′(x)=2x-

2

x2

+

a

x

（x＞0）
∵函数f(x)=x2+

2

x

+alnx(x＞0)在[1，+∞）上单调递增，
∴f′(x)=2x-

2

x2

+

a

x

≥0在[1，+∞）上恒成立
∴a≥-2x²+

2

x

令g（x）=-2x²+

2

x

，则g′（x）=-4x-

2

x2

≤0在[1，+∞）上恒成立
∴函数g（x）=-2x²+

2

x

在[1，+∞）上单调减
∴x=1时，函数g（x）=-2x²+

2

x

取得最大值0
∴a≥0
故答案为：a≥0

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查恒成立问题，求函数的最值是关键．