Question

已知α，β为锐角，若sinα=

4

5

，cos(α+β)=-

3

5

，试求cosβ的值．

Answer 1

分析：法1：通过α，β为锐角，若sinα=

4

5

，cos(α+β)=-

3

5

，求出cosα，利用两角和的余弦函数推出sinβ=

3

4

+

3

4

cosβ，通过同角三角函数的基本关系式，求出结果．
法2：求出cosα，利用cos（α+β）=-cosα=cos（π-α）而α，β为锐角，推出α+β=π-α，通过二倍角公式解答即可．

解答：解：法1：联立方程组求解：由α为锐角，sinα=

4

5

，得cosα=

3

5

所以：cos(α+β)=cosα×cosβ-sinα×sinβ=

3

5

cosβ-

4

5

sinβ=-

3

5

（1）
由（1）知sinβ=

3

4

+

3

4

cosβ再联立 sin²β+cos²β=1可得cosβ=-1或cosβ=

7

25

又β为锐角，所以cosβ=

7

25

解法2：由 α为锐角，sinα=

4

5

，得cosα=

3

5

，
此时cos（α+β）=-cosα=cos（π-α）而α，β为锐角，所以α+β=π-α
即β=π-2α，所以cosβ=cos(π-2α)=-cos2α=2sin2α-1=2×(

4

5

)2-1=

7

25

．

点评：本题是中档题，考查三角函数的化简求值，解答变换的技巧与应用，考查计算能力．