Question

已知抛物线y²=2px（p＞0），过定点（p，0）作两条互相垂直的直线l₁，l₂，l₁与抛物线交于P，Q两点，l₂与抛物线交于M，N两点，设l₁的斜率为k．若某同学已正确求得弦PQ的中垂线在y轴上的截距为

2p

k

+

p

k3

，则弦MN的中垂线在y轴上的截距为

 

．

Answer 1

分析：根据点斜式知道直线l₂的方程为y=-

1

k

(x-p)，设出M，N的坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂），则根据M，N在抛物线y²=2px（p＞0）知：

y 2 1 =2px1① y 2 2 =2px2②

，①-②知（y₁²-y₂²）=2p（x₁-x₂），根据斜率得到MN的中点坐标，从而得到弦MN的中垂线方程，即可求解

解答：解：设出M，N的坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂）
∵M，N在抛物线y²=2px（p＞0）
∴

y 2 1 =2px1① y 2 2 =2px2②

①-②知（y₁²-y₂²）=2p（x₁-x₂）
∵

y1-y2

x1-x2

=-

1

k

∴y₁+y₂=-2kp
∵M，N在直线l₂：y=-

1

k

(x-p)上
∴x₁+x₂=2p（k²+1）
即弦MN的中点坐标为（p（k²+1），-kp）
∵过定点（p，0）作两条互相垂直的直线l₁，l₂，l₁与抛物线交于P，Q两点，l₂与抛物线交于M，N两点，设l₁的斜率为k
∴kmn=-

1

k

∴弦MN的中垂线的斜率为k
∴弦MN的中垂线的方程为：y+kp=k（x-p（k²+1）），
令x=0得y=-2pk-pk³
故答案为：-2pk-pk³

点评：本题考查了两直线垂直的条件，直线与圆锥曲线位置关系，一元二次方程的根系关系．此类题是直线与圆锥曲线的位置关系中一类常见的题型，属于基础题．