Question

已知圆C₁：x²+y²+D₁x+8y﹣8=0，圆C₂：x²+y²+D₂x﹣4y﹣2=0．

（1）若D₁=2，D₂=﹣4，求圆C₁与圆C₂的公共弦所在的直线l₁的方程；

（2）在（1）的条件下，已知P（﹣3，m）是直线l₁上一点，过点P分别作直线与圆C₁、圆C₂相切，切点为A、B，求证：|PA|=|PB|；

（3）将圆C₁、圆C₂的方程相减得一直线l₂：（D₁﹣D₂）x+12y﹣6=0．Q是直线l₂上，且在圆C₁、圆C₂外部的任意一点．过点Q分别作直线QM、QN与圆C₁、圆C₂相切，切点为M、N，试探究|QM|与|QN|的关系，并说明理由．

Answer 1

考点：

圆方程的综合应用；直线与圆的位置关系；相交弦所在直线的方程．

专题：

计算题；直线与圆．

分析：

（1）对两圆的方程作差即可得出两圆的公共弦所在的直线方程．

（2）求出两个圆的圆心坐标与半径，求出两个切线长即可证明结果．

（3）求出两个圆的圆心坐标与半径，利用切线长与半径的垂直关系，比较|QM|与|QN|的关系．

解答：

解：（1）由题意，∵D₁=2，D₂=﹣4，

∴圆C₁：x²+y²+2x+8y﹣8=0，圆C₂：x²+y²﹣4x﹣4y﹣2=0相交，

∴两圆的方程作差得6x+12y﹣6=0，

即公式弦所在直线方程为x+2y﹣1=0．

（2）P（﹣3，m）是直线l₁上一点，所以m=2

过点P分别作直线与圆C₁、圆C₂相切，切点为A、B，

圆C₁的圆心坐标（﹣1，﹣4），半径为：5；

圆C₂的圆心坐标（2，2），半径为：．

所以PA²=（﹣1+3）²+（﹣4﹣2）²﹣25=15．

PB²=（2+3）²+（2﹣2）²﹣10=15．

所以|PA|=|PB|；

（3）圆C₁x²+y²+D₁x+8y﹣8=0，圆心坐标（，﹣4），半径为：；

圆C₂：x²+y²+D₂x﹣4y﹣2=0，圆心坐标（，2），半径为：．

直线l₂：（D₁﹣D₂）x+12y﹣6=0．Q是直线l₂上，设Q（），

|QM|²=与|QN|²=，

|QM|²﹣|QN|²=，

当时，|QM|=|QN|，

当时，|QM|＞|QN|，

当时，|QM|＜|QN|．

点评：

本题考查圆的方程的综合应用与圆的位置关系，考查发现问题与解决问题的能力．