Question

9．若函数f（x）=log₂$\frac{x{-a}^{\frac{1}{2}}}{x{-a}^{\frac{1}{3}}}$且0＜a＜1
（1）写出f（x）的定义域；
（2）若f（x）定义域关于点（$\frac{1}{2}$${a}^{\frac{1}{2}}$+$\frac{1}{4}$${a}^{\frac{1}{6}}$，0）对称，求a的值；
（3）在（2）条件下，写出f（x）的单调区间．

Answer 1

分析 （1）由对数的定义可得，$\frac{x{-a}^{\frac{1}{2}}}{x{-a}^{\frac{1}{3}}}$＞0，运用指数函数的单调性以及二次不等式的解法，即可得到定义域；
（2）由题意可得${a}^{\frac{1}{2}}$+${a}^{\frac{1}{3}}$=2（$\frac{1}{2}$${a}^{\frac{1}{2}}$+$\frac{1}{4}$${a}^{\frac{1}{6}}$），解方程可得a的值；
（3）化简函数f（x），再由复合函数的单调性：同增异减，即可得到所求单调区间．

解答 解：（1）由对数的定义可得，$\frac{x{-a}^{\frac{1}{2}}}{x{-a}^{\frac{1}{3}}}$＞0，
由0＜a＜1可得，${a}^{\frac{1}{2}}$＜${a}^{\frac{1}{3}}$，
解不等式可得x＜${a}^{\frac{1}{2}}$或x＞${a}^{\frac{1}{3}}$，
即有定义域为（-∞，${a}^{\frac{1}{2}}$）∪（${a}^{\frac{1}{3}}$，+∞）；
（2）由题意可得${a}^{\frac{1}{2}}$+${a}^{\frac{1}{3}}$=2（$\frac{1}{2}$${a}^{\frac{1}{2}}$+$\frac{1}{4}$${a}^{\frac{1}{6}}$），
即2${a}^{\frac{1}{3}}$=${a}^{\frac{1}{6}}$，即有${a}^{\frac{1}{6}}$=$\frac{1}{2}$，解得a=$\frac{1}{64}$；
（3）当a=$\frac{1}{64}$时，可得f（x）=log₂$\frac{8x-1}{4x-1}$，
定义域为（-∞，$\frac{1}{8}$）∪（$\frac{1}{4}$，+∞），
即有f（x）=log₂（2+$\frac{1}{4x-1}$），
由复合函数的单调性可得，
f（x）的减区间为（-∞，$\frac{1}{8}$），（$\frac{1}{4}$，+∞），无增区间．

点评 本题考查函数的性质和运用，考查函数的定义域的求法和单调区间的求法，注意运用对数函数的性质，以及复合函数的单调性：同增异减，属于中档题．