题目内容
已知数列{an}满足：a1=3，且an+1=2an-1（n∈N*）．（1）求证数列{an-1}是等比数列，并求出数列{an}的通项公式an．
（2）令bn=
| 1 | an+1-an |
分析：（1）将an+1=2an-1转化an+1-1=2（an-1），构造出有特殊性质的数列{an-1}，再去解决．
（2）将（1）所求的通项公式代入bn，化简整理，根据bn的表示式决定求和方法．
（2）将（1）所求的通项公式代入bn，化简整理，根据bn的表示式决定求和方法．
解答：解：（1）∵an+1=2an-1，两边同时减去1，得
an+1-1=2（an-1），又a1-1=2
∴{an-1}是以a1-1=2为首项，q=2为公比的等比数列，
∴an-1=2n
∴an=2n+1（n∈N*）
（2）证明：∵an=2n+1（n∈N*），
∴bn=
=
=
(n∈N*)
∴Sn=b1+b2+…+bn=
+
+
+…+
=
=1-
an+1-1=2（an-1），又a1-1=2
∴{an-1}是以a1-1=2为首项，q=2为公比的等比数列，
∴an-1=2n
∴an=2n+1（n∈N*）
（2）证明：∵an=2n+1（n∈N*），
∴bn=
| 1 |
| an+1-an |
| 1 |
| 2n+1-2n |
| 1 |
| 2n |
∴Sn=b1+b2+…+bn=
| 1 |
| 21 |
| 1 |
| 22 |
| 1 |
| 23 |
| 1 |
| 2n |
| ||||
1-
|
| 1 |
| 2n |
点评：本题考查等比数列定义，前项和公式，考查转化能力，计算能力．凡是形如an+1=pan+q均可通过两端加上合适的常数，转化构造出等比数列．
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