Question

9．在数列{a_n}中，a₁=t（t＞0），a₂≤$\frac{t}{3}$，S_n为{a_n}的前n项和，且4S_n=S_n-1+3S_n+1+S_n²（n≥2）
（1）比较a₂₀₁₄与3a₂₀₁₅的大小；
（2）令b_n=-a_n+1²+a_na_n+1，数列{b_n}的前n项和为T_n，求证：T_n＜$\frac{{t}^{2}}{4}$．

Answer 1

分析 （1）运用数列的通项和求和的关系，可得S_n-S_n-1=3（S_n+1-S_n）+S_n²（n≥2）即为a_n=3a_n+1+S_n²（n≥2）即可得到大小关系；
（2）运用配方和二次函数的单调性，可得b_n≤-（$\frac{1}{3}$a_n-$\frac{1}{2}$a_n）²+$\frac{1}{4}$a_n²=$\frac{2}{9}$a_n²，运用放缩法和等比数列的求和公式，即可得证．

解答 解：（1）4S_n=S_n-1+3S_n+1+S_n²（n≥2）
即有S_n-S_n-1=3（S_n+1-S_n）+S_n²（n≥2）
即为a_n=3a_n+1+S_n²（n≥2）
则a_n≥3a_n+1，
即有a₂₀₁₄≥3a₂₀₁₅；
（2）证明：b_n=-a_n+1²+a_na_n+1=-（a_n+1-$\frac{1}{2}$a_n）²+$\frac{1}{4}$a_n²，
又a_n+1≤$\frac{1}{3}$a_n，
则b_n≤-（$\frac{1}{3}$a_n-$\frac{1}{2}$a_n）²+$\frac{1}{4}$a_n²=$\frac{2}{9}$a_n²，
故T_n=b₁+b₂+…+b_n≤$\frac{2}{9}$（a₁²+a₂²+…+a_n²）
＜$\frac{2}{9}$（t²+（$\frac{1}{3}$）²t²+（$\frac{1}{3}$）⁴t²+…+（$\frac{1}{3}$）²ⁿt²）
=$\frac{2}{9}$•$\frac{1-\frac{1}{{9}^{n}}}{1-\frac{1}{9}}$t²＜$\frac{{t}^{2}}{4}$．
即有T_n＜$\frac{{t}^{2}}{4}$．

点评 本题考查数列的通项和求和之间的关系，考查数列不等式的证明，注意运用放缩法，同时考查等比数列的求和公式和不等式的性质，属于中档题．