Question

（2012•淮北一模）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，角A，B，C依次成等差数列．
（1）若sin²B-sinAsinC，试判断△ABC的形状；
（2）若△ABC为钝角三角形，且a＞c，试求sin2

C

2

+

3

sin

A

2

cos

A

2

-

1

2

的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由正弦定理可得b²=ac，再由A，B，C依次成等差数列求得B=

π

3

，再由由余弦定理求得a=c，可得△ABC为正三角形
（2）要求的式子利用三角函数的恒等变换化为

1

2

sin(A+

π

6

)，再根据角A的范围求出

1

2

sin(A+

π

6

)的范围，即得所求．

解答：解：（1）∵sin²B=sinAsinC，∴b²=ac．
∵A，B，C依次成等差数列，∴2B=A+C=π-B，B=

π

3

．
由余弦定理b²=a²+c²-2accosB，a²+c²-ac=ac，∴a=c．
∴△ABC为正三角形．（6分）
（2）要求的式子 sin2

C

2

+

3

sin

A

2

cos

A

2

-

1

2

=

1-cosC

2

+

3

2

sinA-

1

2

=

3

2

sinA-

1

2

cos(

2π

3

-A)=

3

2

sinA+

1

4

cosA-

3

4

sinA
=

3

4

sinA+

1

4

cosA=

1

2

sin(A+

π

6

)．
∵

π

2

＜A＜

2π

3

，∴

2π

3

＜A+

π

6

＜

5π

6

，
∴

1

2

＜sin(A+

π

6

)＜

3

2

，故

1

4

＜

1

2

sin(A+

π

6

)＜

3

4

．
∴代数式sin2

C

2

+

3

sin

A

2

cos

A

2

+

3

2

的取值范围是（

1

4

，

3

4

）．（12分）

点评：本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，三角函数的恒等变换，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．