Question

已知正方形ABCD的边长为1，AC∩BD=O．将正方形ABCD沿对角线BD折起，使AC=1，得到三棱锥A-BCD，如图所示．
（Ⅰ）若点M是棱AB的中点，求证：OM∥平面ACD；
（Ⅱ）求证：AO⊥平面BCD；
（Ⅲ）求二面角A-BC-D的余弦值．

Answer 1

分析：（I）由已知中正方形ABCD的边长为1，AC∩BD=O，M为AB的中点，根据三角形中位线定理，可得OM∥AD，结合线面平行的判定定理，可得OM∥平面ACD；
（II）解△AOC，可得AO⊥CO，由正方形的性质可得AO⊥BD，根据线面垂直的判定定理，可得AO⊥平面BCD．
（III）由（II）知AO⊥平面BCD，则OC，OA，OD两两互相垂直，以O为原点，建立空间直角坐标系O-xyz，分别求出平面ABC和平面BCD的法向量，代入向量夹角公式，即可得到
二面角A-BC-D的余弦值．

解答：解：（I）证明：∵在正方形ABCD中，O是对角线AC、BD的交点，
∴O为BD的中点，
又M为AB的中点，
∴OM∥AD．
又AD?平面ACD，OM?平面ACD，
∴OM∥平面ACD．
证明：（II）在△AOC中，∵AC=1，AO=CO=

2

2

，
∴AC²=AO²+CO²，∴AO⊥CO．
又∵AC、BD是正方形ABCD的对角线，
∴AO⊥BD，
又BD∩CO=O
∴AO⊥平面BCD．
（III）由（II）知AO⊥平面BCD，则OC，OA，OD两两互相垂直，
如图，以O为原点，建立空间直角坐标系O-xyz．
则O(0，0，0)，A(0，0，

2

2

)，C(

2

2

，0，0)，B(0，-

2

2

，0)，D(0，

2

2

，0)，

OA

=(0，0，

2

2

)是平面BCD的一个法向量．

AC

=(

2

2

，0，-

2

2

)，

BC

=(

2

2

，

2

2

，0)，
设平面ABC的法向量

n

=(x，y，z)，
则

n

•

BC

=0，

n

•

AC

=0．
即

(x，y，z)•( 2 2 2 2 ，0)=0 (x，y，z)•( 2 2 ，0，- 2 2 )=0

，
所以y=-x，且z=x，令x=1，则y=-1，z=1，
解得

n

=(1，-1，1)．

从而cos?

n

，

OA

＞=

n • OA

| n || OA |

=

3

3

，
二面角A-BC-D的余弦值为

3

3

．

点评：本题考查的知识点是用空间向量求平面间的夹角，直线与平面平行的判定，直线与平面垂直的判定，其中（1）的关键是证得OM∥AD，（2）的关键是证得AO⊥CO，AO⊥BD，（3）的关键是分别求出平面ABC和平面BCD的法向量．