Question

设函数f(x)＝bln(x＋1)＋x²(提示：[ln(x＋1)]＝)

(1)若函数f(x)在定义域上是单调函数，求实数b的取值范围；

(2)若b＝－1，证明对任意的正整数n，不等式都成立．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)∵． 　　又函数f(x)在定义域上是单调函数∴(x)≥0或f/(x)≤0在(－1，＋∞)上恒成立． 　　若(x)≥0，∵x＋1＞0，∴2x2＋2x＋b≥0在(－1，＋∞)上恒成立． 　　即b≥－2x2－2x＝恒成立，由此得b≥． 　　若(x)≤0，∵x＋1＞0，∴2x2＋2x＋b≤0，即b≤－(2x2＋2x)恒成立， 　　因－(2x2＋2x)在(－1，＋∞)上没有最小值． 　　∴不存在实数b使f(x)≤0恒成立．综上所述，实数b的取值范围是． 　　(2)当b＝－1时，函数f(x)＝x2－ln(x＋1) 　　令函数h(x)＝f(x)－x3＝x2－ln(x＋1)－x3． 　　则(x)＝－3x2＋2x－． 　　∴当时，(x)＜0所以函数h(x)在上是单调递减．10分 　　又h(0)＝0，∴当时，恒有h(x)＜h(0)＝0， 　　即x2－ln(x＋1)＜x3恒成立．故当时，有f(x)＜x3． 　　∵取则有＜．