Question

（2010•宿州三模）设函数f(x)=x2ex-1-

1

3

x3-x2(x∈R)．
（I）求函数的单调区间；
（II）求y=f（x）在[0，a]（a＞0）上的最小值；
（III）当x∈（1，+∞）时，证明：?n∈N+，ex-1＞

xn

n!

对任意n∈N₊．

Answer 1

分析：（I）先求出导函数，然后令f′（x）=0，判定导数符号，即可求出函数的单调区间；
（II）讨论a与1的大小，根据函数在[0，a]上的单调性即可求出函数f（x）在[0，a]上的最小值；
（III）设gn(x)=ex-1-

xn

n!

当n=1时，只需证明g₁（x）=e^x-1-x＞0，根据g₁（x）=e^x-1-x在（1，+∞）上单调性可证得结论，然后利用数学归纳法证明即可．

解答：解：（I）f′（x）=2xe^x-1+x²e^x-1-x²-2x=x（x+2）（e^x-1-1）…（2分）
令f′（x）=0，可得x₁=-2，x₂=0，x₃=1

x	（-∞，-2）	-2	（-2，0）	0	（0，1）	1	（1，+∞）
f′（x）	-	0	+	0	-	0	+
f（x）	减	极小	增	极大	减	极小	增

函数y=f（x）的增区间为（-2，0）和（1，+∞），减区间为（-∞，-2）和（0，1）…（5分）
（II）①当0＜a≤1时，f′（x）＜0，f（x）在[0，a]上递减，
∴fmin(x)=f(a)=a2(ea-1-1)-

a3

3

．
②当a＞1时，由（I）知∴fmin(x)=f(1)=-

1

3

∴f（x）在[0，a]上的最小值是
∴fmin(x)=

a2(ea-1-1)- a3 3 ，(0＜a≤1) - 1 3 ，(a＞1)

…（8分）
（III）设gn(x)=ex-1-

xn

n!

当n=1时，只需证明g₁（x）=e^x-1-x＞0
当x∈（1，+∞）时

g′1(x)=ex-1-1＞0，

所以g₁（x）=e^x-1-x在（1，+∞）上单调增函数
∴g₁（x）＞g（1）=e⁰-1=0，即e^x-1＞x；  …（10分）
当x∈（1，+∞）时，假设n=k时不等式成立，即

gk(x)=ex-1- xk k! ＞0，

当n=k+1时，
因为

g′k+1(x)=ex-1- (k+1)xk (k+1)! =ex-1- ek k! ＞0，

所以g'_k+1（x）在（1，+∞）上也是增函数
所以

gk+1(x)＞gk+1(1)=e0- 1 (k+1)! =1- 1 (k+1)! ＞0

即当n=k+1时，不等式成立．
所以当x∈（1，+∞）时，?n∈N+，ex-1＞

xn

n!

…（14分）

点评：本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，以及研究函数在闭区间上的最值，同时考查了数学归纳法证明不等式，是一道综合题，有一定的难度．