Question

已知函数f(x)=

1

3

x3+ax+b（a，b∈R）在x=2处取得极小值-

4

3

．
（Ⅰ）求f（x）；
（Ⅱ）求函数f（x）在[-4，3]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（I）根据题意，结合导数的性质可得函数f（x）满足f′（2）=0且f（2）=-

4

3

，由此建立关于a、b的方程组，解出a、b的值即可得到函数f（x）的解析式．
（II）由（I）可得f′（x）=x²-4=0的两个根x₁=-2，x₂=2．由此将区间[-4，3]分为3个部分，结合表格可得函数在[-4，3]上的3个单调区间，比较区间端点的函数值和函数的极大、极小值，即可得到f（x）在[-4，3]上的最大值和最小值．

解答：解：（I）对f（x）求导函数，可得f′（x）=x²+a
∵函数在x=2处取得极小值-

4

3

，∴f′（2）=0，f（2）=-

4

3

可得4+a=0且

8

3

+2a+b=-

4

3

，解之得a=-4，b=4
∴可得f（x）=

1

3

x³-4x+4．
（II）由（I）得f′（x）=x²-4
解方程f′（x）=0，得x=2或-2
由此列出如下表格：
根据表格，可得函数f（x）在[-4，3]上的最大值为f（-2）=

28

3

，最小值为-

4

3

．

点评：本题给出三次多项式函数，求函数的解析式并讨论函数在[-4，3]上的最大值和最小值．着重考查了利用导数研究函数的单调性和函数最值的求法等知识，属于中档题．