Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，AD⊥CD，DB平分∠ADC，E为PC的中点，AD=CD=1，DB=2．
(Ⅰ)证明PA∥平面BDE；
(Ⅱ)证明AC⊥平面PBD；
(Ⅲ)求直线BC与平面PBD所成的角的正切值．

Answer 1

(Ⅰ)证明：设AC∩BD=H，连结EH， 在△ADC中，因为AD= CD，且DB平分∠ADC， 所以H为AC的中点， 又由题设，E为PC的中点，故EH∥PA， 又EH平面BDE且PA平面BDE， 所以PA∥平面BDE． (Ⅱ)证明：因为PD⊥平面ABCD，AC平面ABCD， 所以PD⊥AC， 由(Ⅰ)可得，DB⊥AC， 又PD∩DB =D，故AC⊥平面PBD． (Ⅲ)由AC⊥平面PBD可知，BH为BC在平面PBD内的射影， 所以∠CBH为直线BC与平面PBD所成的角， 由 AD⊥CD，AD=CD=1，DB=2， 可得， 在Rt△BHC中，， 所以直线BC与平面PBD所成的角的正切值为。