Question

已知数列{a_n}的前n项和S_n=3ⁿ-1，数列{b_n}满足b₁=1，b_n=3b_n-1+a_n（n≥2），记数列{b_n}的前n项和为T_n。
（Ⅰ）证明{a_n}为等比数列；
（Ⅱ）求T_n；
（Ⅲ）设P_n=S_n+T_n，若对于任意n∈N*，都有成立，求实数λ的取值范围。

Answer 1

解：（Ⅰ）证明：因为数列{a_n}的前，n项和S=3ⁿ-1，
所以a_n=S_n-S_n-1=（3ⁿ-1）-（3^n-1-1） =2·3^n-1（n≥2），
因为n=1时，a₁=S₁=2也适合上式，
所以a_n=2·3^n-1（n∈N*），
因为，
所以数列{a_n}是首项为2，公比为3的等比数列；
（Ⅱ）当 n≥2时，b_n=3b_n-1+2-3^3n-1，
将其变形为，
即
所以数列，是首项为公差为2的等差数列，
所以
所以b_n= （2n-1）·3^n-1（n∈N*），
因为T_n=1×3⁰+3×3¹+5×3²+…+（2n-1）. 3^n-1，
所以3T_n=1×3¹+3×3²+5×3³+…+（2n-1）·3ⁿ，
两式相减得2T_n=-1-2（3¹+3²+…+3^n-1）+ （2n-1）·3ⁿ，
整理得T_n=（n-1）·3ⁿ+1（n∈N*）；
（Ⅲ）由P_n=S_n+T_n=n·3ⁿ，得
于是
化为（*）
①当n是正奇数时，（*）式可化为，
显然，大于0，且随着正奇数n的增大而减小，
由于（*）式对任意正奇数n恒成立，
所以，
②当n是正偶数时，（*）式可化为，
显然随着正偶数n的增大而减小，
由于（*）式对任意正偶数n恒成立，
所以，
综上，实数λ的取值范围是。