Question

定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+2）=f（x），且当x∈（0，1）时，f（x）=2^x-1，则f(log2

8

3

)=（　　）

• A．

  1

  4

• B．

  1

  2

• C．

  5

  8

• D．1

Answer 1

分析：由f（x+2）=f（x）求出函数周期，用周期性及偶函数性质对f(log2

8

3

)进行转化，最后借助x∈（0，1）时，f（x）=2^x-1即可求出答案．

解答：解：由f（x+2）=f（x），得T=2为f（x）的周期，
所以f(log2

8

3

)=f（log2

8

3

-2）=f（log2

2

3

），
又f（x）为R上的偶函数，所以f（log2

2

3

）=f（-log2

2

3

）=f（log2

3

2

），
而1＜

3

2

＜2，所以0＜log2

3

2

＜1，又当x∈（0，1）时，f（x）=2^x-1，
所以f（log2

3

2

）=2log2

3

2

-1=

3

2

-1=

1

2

．
故选B．

点评：本题综合考查了函数的奇偶性、单调性，运用奇偶性及单调性对函数求值，解题思路是综合运用函数性质对所求函数值进行转化，借助已知表达式求解．