题目内容
已知椭圆C：| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| ||
| 2 |
（1）求椭圆的方程；
（2）如图，在椭圆C上任意取不同两点A，B，点A关于x轴的对称点为A′，若直线AB过定点T（2，0），求证：直线A′B过定点P（4，0）．
分析：（1）由于椭圆C：
+
=1(a＞b＞0)过点（0，2），且离心率e=
．可得
，解得即可．
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2）．则A′（x1，-y1）．由题意可知直线AB的斜率存在．
设直线AB的方程为：y=k（x-2），与联立与椭圆的方程联立可得根与系数的关系．
由直线A′B方程：y+y1=
(x-x1)，令y=0，化为x=
，再利用y1=k（x1-2），y2=k（x2-2），
分别得到y1+y2=k（x1+x2-4），y1x2+y2x1=kx2（x1-2）+kx1（x2-2）=2k[x1x2-（x1+x2）]．即可证明．
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| ||
| 2 |
|
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2）．则A′（x1，-y1）．由题意可知直线AB的斜率存在．
设直线AB的方程为：y=k（x-2），与联立与椭圆的方程联立可得根与系数的关系．
由直线A′B方程：y+y1=
| y2+y1 |
| x2-x1 |
| y1x2+y2x1 |
| y1+y2 |
分别得到y1+y2=k（x1+x2-4），y1x2+y2x1=kx2（x1-2）+kx1（x2-2）=2k[x1x2-（x1+x2）]．即可证明．
解答：解：（1）∵椭圆C：
+
=1(a＞b＞0)过点（0，2），且离心率e=
．
∴
，解得
．
∴椭圆C的标准方程为
+
=1．
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2）．则A′（x1，-y1）．
由题意可知直线AB的斜率存在．
设直线AB的方程为：y=k（x-2），
联立
，化为（1+2k2）x2-8k2x+8k2-8=0，
∴x1+x2=
，x1x2=
．
由直线A′B方程：y+y1=
(x-x1)，
令y=0，化为x=
，
∵y1=k（x1-2），y2=k（x2-2），
∴y1+y2=k（x1+x2-4）=
．
y1x2+y2x1=kx2（x1-2）+kx1（x2-2）=2k[x1x2-（x1+x2）]=2k•(
-
)=
．
∴x=
=4．即直线A′B过定点P（4，0）．
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| ||
| 2 |
∴
|
|
∴椭圆C的标准方程为
| x2 |
| 8 |
| y2 |
| 4 |
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2）．则A′（x1，-y1）．
由题意可知直线AB的斜率存在．
设直线AB的方程为：y=k（x-2），
联立
|
∴x1+x2=
| 8k2 |
| 1+2k2 |
| 8k2-8 |
| 1+2k2 |
由直线A′B方程：y+y1=
| y2+y1 |
| x2-x1 |
令y=0，化为x=
| y1x2+y2x1 |
| y1+y2 |
∵y1=k（x1-2），y2=k（x2-2），
∴y1+y2=k（x1+x2-4）=
| -4k |
| 1+2k2 |
y1x2+y2x1=kx2（x1-2）+kx1（x2-2）=2k[x1x2-（x1+x2）]=2k•(
| 8k2-8 |
| 1+2k2 |
| 8k2 |
| 1+2k2 |
| -16k |
| 1+2k2 |
∴x=
| ||
|
点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、直线过定点问题等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．
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