Question

已知函数f（x）=e^x（ax+1）（e为自然对数的底，a∈R为常数）。
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）对于函数h（x）和g（x），若存在常数k，m，对于任意x∈R，不等式h（x）≥kx+m≥g（x）都成立，则称直线y=kx+m是函数h（x），g（x）的分界线，设a=1，问函数f（x）与函数g（x）=-x²+2x+1是否存在“分界线”？若存在，求出常数k，m。若不存在，说明理由。

Answer 1

解：（1）
当时，
即
函数在区间上是增函数，
在区间上是减函数；
当时，，函数是区间上的增函数；
当时，
即
函数在区间上是增函数，在区间上是减函数。
（2）若存在，则恒成立，
令，则，
所以
因此：恒成立，即恒成立，
由得到：，
现在只要判断是否恒成立，
设，
因为：，
当时，，，
当时，，，
所以：，
即恒成立，
所以：函数与函数存在“分界线”，
则。