Question

如图，四棱锥P-ABCD中，PC⊥平面ABCD，PC=2，在四边形ABCD中，∠B=∠C=90，AB=4，CD=1，点M在线段PB上，PB与平面ABC成30°角．
（1）找出一点M的具体位置，使CM∥平面PAD（要说明理由）．
（2）求证：平面PAB⊥平面PAD．
（3）若点M到平面PAD的距离是

2

，问点M位于线段PB上哪一位置？

Answer 1

分析：（1）在底面四边形ABCD中，由∠B=∠C=90°，知AB∥CD，由此能推导出四边形CDFM是平行四边形．从而能够找到点M在线段PB上使PA=4PM处．
（2）．由PC⊥面ABCD，知∴∠PBC是直线PB与平面ABCD所成的角，所以BC=2

3

，由此能够证明平面PAB⊥平面PAD．
（3）作MG⊥平面PAD，垂足为G，由平面PAB⊥平面PAD，M∈平面PAB，知G∈PA=平面PAB∩平面PAD，再由△PMG∽△PBE，能得到此时点M在PB的中点上．

解答：（1）解：在底面四边形ABCD中，
∵∠B=∠C=90°，
∴AB∥CD，
在PA上取点F，使PA=4PF，
连接FM，MC，FD，
在△PAB中，
∵

PF

PA

=

PM

PB

=

1

4

．
∴MF

∥ .

.

1

4

AB，
∴四边形CDFM是平行四边形，
所以此时的CM∥平面PAD，
即点M在线段PB上使PA=4PM处．
（2）．证明：

∵PC⊥平面ABCD

，
∴∠PBC是直线PB与平面ABCD所成的角，
∴∠PBC=30°，
∵PC=2，
∴BC=2

3

，
分别以CD，CB，CP为x，y，z轴，C为原点建立空间直角坐标系，
则C（0，0，0），B（0，2

3

，0），A（4，2

2

，0），D（1，0，0），P（0，0，2），
设E为PA的中点，则E（2，

3

，1），

EB

=(2，

3

，-1)，

AP

=(-4，-2

3

，2)，

PD

=(1，0，-2)，
∴

EB

•

AP

=(-2)×(-4)+

3

×(-2

3

)+(-1)×2=0，

EB

•

PD

=(-2)×1+

3

×0+(-1)×（-2）=0，
∴EB⊥AP，EB⊥PD，
∴EB⊥平面PAD，
∵EB?平面PAB，
∴平面PAB⊥平面PAD．
（3）作MG⊥平面PAD，垂足为G
∵平面PAB⊥平面PAD，M∈平面PAB
∴G∈PA=平面PAB∩平面PAD
由（2）可知：|

EB

| =

(-2)2+( 3 )2+(-1)2

=2

2

，
又由BE⊥PA，MG⊥PA．
知△PMG∽△PBE，∴

PM

PB

=

MG

BE

=

2

2 2

=

1

2

，
∴此时点M在PB的中点上．

点评：本题考查空间角和空间距离的计算，解题时要认真审题，仔细解答．考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．综合性强，是高考的重点，易错点是知识体系不牢固．