Question

已知函数f（x）=3ax²+2bx+c，若a+b+c=0，且f（0）•f（1）＞0，
（1）求：-

b

3a

的范围；    
（2）若x₁，x₂是方程f（x）=0的两实根，求|x₁-x₂|的取值范围．

Answer 1

分析：（1）f（0）f（1）=c（3a+2b+c），根据a+b+c=0，则=-（a+b）（2a+b）＞0，从而建立关于

b

a

的不等关系，从而求出

b

a

的取值范围，即可求得-

b

3a

的范围； 
（2）根据根与系数的关系，求出x₁+x₂，x₁•x₂，则可得|x₁-x₂|²=（x₁+x₂）²-4x₁•x₂，得到关于

b

a

的二次函数，又由（1）得-2＜

b

a

＜-1，根据其增减性即可求得|x₁-x₂|的取值范围．

解答：证明：（1）∵函数f（x）=3ax²+2bx+c，
∴f（0）•f（1）=c（3a+2b+c）＞0，
又a+b+c=0，则c=-（a+b），3a+2b+c=（a+b+c）+2a+b=2a+b，
∴-（a+b）（2a+b）＞0，即b²+3ab+2a²＜0，
∴（

b

a

）²+3×

b

a

+2＜0，解得-2＜

b

a

＜-1，
∴

1

3

＜-

b

3a

＜

2

3

，
故-

b

3a

的取值范围为

1

3

＜-

b

3a

＜

2

3

；
（2）∵x₁、x₂是方程f（x）=0的两个实根，
∴x₁+x₂=-

2b

3a

，x₁•x₂=

c

3a

=-

a+b

3a

，
∴|x₁-x₂|²=（x₁+x₂）²-4x₁•x₂=（-

2b

3a

）²+4×（

a+b

3a

）=

4

9

（

b

a

）²+

4

3

×

b

a

+

4

3

，
上式是关于

b

a

的一个二次函数，对称轴为

b

a

=-

3

2

，
由（1）可得，-2＜

b

a

＜-1，
∴∴|x₁-x₂|²在（-2，-

3

2

]上单调递减，在[-

3

2

，-1）上单调递增，
∴|x₁-x₂|²∈[

1

3

，

4

9

），
∴|x₁-x₂|的取值范围的取值范围为[

3

3

，

2

3

）．

点评：本题考查了二次函数的性质，对于二次函数要注意数形结合的应用，注意抓住二次函数的开口方向，对称轴，以及判别式的考虑．本题涉及了含有字母系数的一元二次方程的解法，要注意根与系数的关系的应用．属于中档题．