Question

已知函数f（x）=ln（2-x）+a（x-2）（a∈R，e是自然对数的底）
（1）求f（x）的单调区间；
（2）当a＞0时，若方程f（x）-b=0在区间[2-

e

a

，2)上有两个不同的实根，求证：1-e-lna≤b＜-1-lna．

Answer 1

（1）f′(x)=

1

x-2

+a=

ax-2a+1

x-2

(x＜2)
当a≤02时，f'（x）＜0，∴f（x）是减函数
当a＞06时，x∈(-∞，2-

1

a

)，f'（x）＞0；x∈(2-

1

a

，2)时，f'（x）＜0
此时，f（x）的单调增减区间分别为(-∞，2-

1

a

)，(2-

1

a

，2)
（2）∵a＞0，由（1）知fmax(x)=f(2-

1

a

)=ln

1

a

-1
当x∈[2-

1

a

，2)时，f（x）的值域是(-∞，ln

1

a

-1]
当函数y=f（x）与函数y=b的图象有两个交点时，
得出f(2-

e

a

)≤b＜f(2-

1

a

)，
即ln

e

a

-e≤b＜ln

1

a

-1
∴1-e-lna≤b＜-1-lna．