Question

如图，平面PAC⊥平面ABC，△ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，E、F、O分别为PA，PB，AC的中点，AC=16，PA=PC=10．
（I）设G是OC的中点，证明：FG∥平面BOE；
（II）证明：在△ABO内存在一点M，使FM⊥平面BOE．

Answer 1

分析：（I）连接OP，以O为坐标原点，分别以OB、OC、OP所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系O-xyz，分别求了各点对应的坐标，求出直线FG的方向向量和平面BOE的法向量，判断两个向量的关系，即可得到FG∥平面BOE；
（II）设点M的坐标为（x₀，y₀，0），则我们易求出直线FM的方向向量，由FM⊥平面BOE求出满足条件的M点的坐标，并与△ABO内部表示的平面区域对应的约束条件进行比照，即可得到答案．

解答：证明：（I）连接OP，以O为坐标原点，分别以OB、OC、OP所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系O-xyz，
则O（0，0，0），A（0，-8，0），B（8，0，0），C（0，8，0），P（0，0，6），E（0，-4，3），F（4，0，3），…（2分）
由题意得，G（0，4，0）因

OB

=(8，0，0)，

OE

=(0，-4，3)，
因此平面BOE的法向量为

n

=(0，3，4)，…（4分）

FG

=(-4，4，-3)得

n

•

FG

=0，
又直线FG不在平面BOE内，因此有FG∥平面BOE …（6分）
（II）设点M的坐标为（x₀，y₀，0），则

FM

=(x0-4，y0，-3)，…（8分）
因为FM⊥平面BOE，所以有

FM

∥

n

，因此有x₀=4，y0=-

9

4

，
即点M的坐标为 (4，-

9

4

，0)，…（11分）
在平面直角坐标系xoy中，
△AOB的内部区域满足不等式组

x＞0 y＜0 x-y＜8

，
经检验，点M的坐标满足上述不等式组，所以在△AOB内存在一点M，使FM⊥平面BOE．…（13分）

点评：本题考查的知识点是直线与平面平行的判定，直线与平面垂直的判定，其中建立适当的坐标系，将线面平行及线面垂直问题，转化为向量夹角问题是解答本题的关键．本题综合较强，难度较大．