Question

已知数列{a_n}满足a₁=1，a₂=2，

an+1+an

an

=

an+2-an+1

an+1

(n∈N*）
（Ⅰ）若b_n=

an+1

an

，求证：数列bn为等差数列；
（Ⅱ）记数列{

an

an+2

}(n∈N*)的前n项和为Sn，若对n∈N*恒有a2-a＞Sn+

1

2

，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据假设，结合

an+1+an

an

=

an+2-an+1

an+1

(n∈N*），作简单变形，即可证得．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知b_n=2+（n-1）×2=2n，从而可利用裂项法求和，进而将恒成立问题转化为解不等式即可．

解答：（Ⅰ）证明：令bn=

an+1

an

，则
∵

an+1+an

an

=

an+2-an+1

an+1

(n∈N*）
∴b_n+1-b_n=2
∵a₁=1，a₂=2
∴b1=

a2

a1

=2
∴数列{b_n}为以2为首项，2为公差的等差数列；
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知b_n=2+（n-1）×2=2n
∴

an

an+2

=

an

an+1

•

an+1

an+2

=

1

bnbn+1

=

1

4n(n+1)

=

1

4

(

1

n

-

1

n+1

)
∴Sn=

1

4

(1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

)=

1

4

(1-

1

n+1

)＜

1

4

∴a2-a≥

1

4

+

1

2

∴4a²-4a-3≥0
∴（2a-3）（2a+1）≥0
∴a≥

3

2

或a≤-

1

2

点评：本题以数列递推式为载体，考查构造法证明等差数列，考查裂项法求和，考查解不等式，同时考查了学生分析解决问题的能力．