Question

已知数列{a_n}满足a1=1，an=a1+

1

2

a2+

1

3

a3+…+

1

n-1

an-1(n≥2，n∈N*)．若a_n=1005，则n=

 

．

Answer 1

分析：本题已知a_n与a₁，a₂，…，a_n-1之间的递推关系式，先求出a₁，a₂再求得a_n可得结果，所用到的方法是作差法，要注意n的取值范围n≥2．

解答：解：由已知得，a₁=1，所以有a₂=a₁=1，
a1=1，an=a1+

1

2

a2+

1

3

a3+…+

1

n-1

an-1(n≥2，n∈N*)①，
an+1=a1+

1

2

a2+

1

3

a3+…+

1

n-1

an-1+

1

n

an②；
②-①得a_n+1-a_n=

1

n

an，所以

an+1

an

=

n+1

n

，n≥2，
于是有：

a3

a2

=

3

2

，

a4

a3

=

4

3

，…，

an

an-1

=

n

n-1

，n≥3，
上述n-2个式子相乘得到，

an

a2

=

n

2

，所以a_n=

n

2

，n≥3，所以
当

an

a2

=

n

2

=1005时，n=2010，
故答案为2010．

点评：本题需要注意n的取值范围

an+1

an

=

n+1

n

，n≥2，

an

an-1

=

n

n-1

，n≥3．用到的方法是作差法，累乘法．