Question

已知数列｛a_n｝的通项公式为a_n=(n∈N)，记f(n)=（1-a₁）（1-a₂）…（1-a_n），求f(1)，f(2)，f(3).推测f(n)的表达式，并证明你的结论.

Answer 1

思路分析：首先通过计算a₂，a₃，a₄，带入f（n），然后猜想f（n）的表达式，最后通过数学归纳法来证明.

解：f(1)=1-a₁=1-=，

f(2)=f(1)·（1-a₂）=（1-）=，

f(3)=f(2)·（1-a₃）=（1-）=.

由此猜想：f（n）=.

用数学归纳法证明如下：

(Ⅰ)当n=1时，已求得f（1）=，

又=，

因此猜想正确.

(Ⅱ)假设n=k（k≥1，k∈N）时猜想正确，

即f（k）=正确.

则当n=k+1时，

f（k+1）=f（k）·（1-a_k+1）

=

即当n=k+1时猜想正确.

综合(Ⅰ)(Ⅱ)，f（n）=对一切n∈N都成立.