Question

已知函数f(x)=2cos2x+2

3

sinxcosx+a（a为常数）．
（1）若x∈R，求f（x）的最大值及当f（x）取得最大值时自变量的集合；
（2）若x∈[ 0 ， 

π

2

 ]时，|f（x）|＜2恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

（1）∵f(x)=2cos2x+2

3

sinxcosx+a
=1+cos2x+

3

sin2x+a
=2sin（2x+

π

6

）+a+1，（4分）
且sin（2x+

π

6

）∈[-1，1]，
∴f（x）_max=a+3，（5分）
此时2x+

π

6

=2kπ+

π

2

，k∈Z，解得x=kπ+

π

6

，
则满足题意的x集合为{ x|x=kπ+

π

6

 ， k∈Z }；（7分）
（2）当x∈[ 0 ， 

π

2

 ]时，

π

6

≤2x+

π

6

≤

7π

6

，
∴a≤f（x）≤3+a，（10分）
由|f（x）|＜2．即-2＜f（x）＜2，
得

a＞-2 a+3＜2

，
解得a∈（-2，-1）．（14分）