Question

12．已知函数f（x）对任意x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y），且当x＞0时，f（x）＜0，若f（1）=-1，求f（x）在[-4，4]上的最大值与最小值．

Answer 1

分析 在f（x+y）=f（x）+f（y）中，用特殊值法，令x=y=0可得f（0）=f（0）+f（0），可得f（0）=0；
在f（x+y）=f（x）+f（y）中，令y=-x，可得f（x）+f（-x）=f（0），即可得f（x）为奇函数；设x₁、x₂∈R，且x₁＜x₂，有f（x₂）-f（x₁）=f（x₂）+f（-x₁）=f（x₂-x₁）成立，结合题意，可得f（x）为减函数，即可得f（x）在[-4，4]上的最大值与最小值分别为f（-4）、f（4），借助f（x+y）=f（x）+f（y）与f（1）的值，可得f（4）、f（-4）的值，即可得答案．

解答 解：在f（x+y）=f（x）+f（y）中，
令x=y=0可得f（0）=f（0）+f（0），
可得f（0）=0；
因为x，y∈R时，f（x+y）=f（x）+f（y），
令y=-x，可得f（x-x）=f（x）+f（-x）=f（0）
所以f（-x）=-f（x）
所以f（x）为奇函数；
设x₁、x₂∈R，且x₁＜x₂，f（x₂）-f（x₁）=f（x₂）+f（-x₁）=f（x₂-x₁）
因为x＞0时f（x）＜0，所以f（x₂-x₁）＜0，即f（x₂）-f（x₁）＜0，
所以f（x）为减函数；
所以f（x）在[-4，4]上的最大值为f（-4），最小值为f（4）．
因为f（4）=f（3）+f（1）=4f（1）=-4，f（-4）=-f（4）=4，
所以函数在[-4，4]上的最大值为4，最小值为-4．

点评 本题考查抽象函数的运用，涉及函数奇偶性、单调性的判断与应用，难点在于根据f（x+y）=f（x）+f（y），运用特殊值法，分析得到函数f（x）的性质以及函数值．