Question

如图，四棱锥P-ABCD的底面是直角梯形，∠ABC=∠BCD=90°，AB=BC=PB=PC=2CD=2，PO⊥AD，O为BC的中点．
（Ⅰ）求证：PO⊥底面ABCD；
（Ⅱ）求二面角P-AD-B的大小．
（Ⅲ）求直线PB与平面PAD所成的线面角的大小．

Answer 1

分析：法一：（Ⅰ）要证PO⊥底面ABCD，只需证明直线PO垂直底面ABCD内的两条相交直线BC、AD即可；
（Ⅱ）过点O作OE⊥AD于点E，连接PE，说明∴∠PEO为二面角P-AD-B的平面角，
解三角形求二面角P-AD-B的大小．
（Ⅲ）取PA、PB的中点M、N，连接BM、CN、DM、MN，
说明直线PB与平面PAD所成的线面角为∠BPM，然后求解即可得到
直线PB与平面PAD所成的线面角的大小．
法二：以BC中点O为原点，以BC所在直线为x轴，过点O与AB平行的直线为y轴，
建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz，
（Ⅱ）求出平面PAD的法向量，平面ABCD的法向量为

OP

=(0，0，

3

)
然后利用向量的数量积求直线PB与平面PAD所成的线面角的大小．
（Ⅲ）求出相关向量，通过cos?

PB

，

n1

?=

PB • n1

| PB |•| n1 |

求得
直线PB与平面PAD所成的线面角的大小．

解答：解法一：（Ⅰ）证明：∵PB=PC=BC，O为BC中点
∴PO⊥BC
又∵PO⊥AD
而ABCD是直角梯形，从而BC与AD相交（没有说明扣1分）
∴PO⊥底面ABCD
（Ⅱ）∵PO⊥底面ABCD，过点O作OE⊥AD于点E，连接PE，由三垂线定理知PE⊥AD
∴∠PEO为二面角P-AD-B的平面角
∵AB=BC=PB=PC=2CD=2，O为BC中点
∴AO=AD=

5

，OD=

2

，PO=

3

由等面积法知S△AOD=

1

2

•AD•OE=

1

2

•OD•

5- 1 2

      ?OE=

3 5

5

∴tan∠PEO=

PO

OE

=

15

3

∴∠PEO=arctan

15

3

，即二面角P-AD-B的大小为arctan

15

3

（或arcsin

10

4

或arccos

6

4

）

（Ⅲ）取PA、PB的中点M、N，连接BM、CN、DM、MN，
∵PC=BC，
∴CN⊥PB①
∵AB⊥BC，且PO⊥AB
∴AB⊥平面PBC
∵CN?平面PBC
∴CN⊥AB②
由①、②知CN⊥平面PAB
由MN∥AB∥CD，MN=AB=CD，得四边形MNCD为平行四边形
∴CN∥DM
∴DM⊥平面PAB
∵BM?平面PAD
∴DM⊥BM
∵PB=AB=2
∴BM⊥PA
∴BM⊥平面PAD，直线PB与平面PAD所成的线面角为∠BPM
在等腰直角三角形PAB中，易知∠BPM=45°

解法二：（Ⅰ）同解法一；
如图，以BC中点O为原点，以BC所在直线为x轴，
过点O与AB平行的直线为y轴，
建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz．

（Ⅱ）∵BC=PB=PC=2且PO⊥底面ABCD
∴平面ABCD的法向量为

OP

=(0，0，

3

)
∵A（1，2，0），D（-1，1，0），P(0，0，

3

)
∴

DA

=(2，1，0)，

PA

=(1，2，-

3

)
设平面PAD的法向量为

n1

=(x1，y1，z1)，
由

n1 ⊥ DA n1 ⊥ PA

得到

2x1+y1=0 x1+2y1- 3 z1=0

，
令x₁=1，则y₁=-2，z3=-

3

，即

n1

=(1，-2，-

3

)
∴cos＜

n1

，

OP

＞=

-3

3 •2 2

=-

6

4

∴二面角P-AD-B的大小为arccos

6

4

（或arcsin

10

4

或arctan

15

3

）

（Ⅲ）∵B（1，0，0）
∴

PB

=(1，0，-

3

)
由（Ⅱ）知平面PAD的法向量为

n1

=(1，-2，-

3

)
则cos?

PB

，

n1

?=

PB • n1

| PB |•| n1 |

=

4

2•2 2

=

2

2

，即?

PB

，

n1

?=450
所以直线PB与平面PAD所成的线面角为90°-45°=45°

点评：本题考查直线与平面垂直的判定，二面角的求法，直线与平面所成的角，考查空间想象能力，逻辑思维能力，转化思想，是中档题．