Question

已知函数f（x）=

22-1

2x+1

，
（1）判断函数f（x）的奇偶性；
（2）求证：f（x）在R为增函数；
（3）求证：方程f（x）-lnx=0至少有一根在区间（1，3）．

Answer 1

分析：（1） 由f（x）的解析式求得f（-x）的解析式，计算f（-x）+f（x）的值．
（2）设出2个自变量的值，计算这2个自变量的函数值的差，将差变形为因式积的形式，判断符号．
（3）证明g（x）=f（x）-lnx 在区间（1，3）的端点函数值异号．

解答：（1）解：函数f（x）=

22-1

2x+1

，的定义域为R，且f（x）=

22-1

2x+1

=1-

2

2x+1

，
∴f（-x）+f（x）=1-

2

2-x+1

+1-

2

2x+1

=2-（

2

2-x+1

+

2

2x+1

）
=2-（

2•2x

1+2x

+

2

2x+1

）=2-2=0，
即：f（-x）=-f（x），∴f（x）是奇函数．
（2）证明：设-∞＜x₁＜x₂＜+∞，f（x₁）-f（x₂）=

2x1-1

2x1+1

-

2x2-1

2x2+1

=

2(2x1-2x2)

(2x1+1)(2x2+1)

∵-∞＜x₁＜x₂＜+∞，∴2x1+1＞0，2x2+1＞0，2x1-2x2＜0，
∴f（x）在R上是增函数．
（3）令g（x）=f（x）-lnx=

2x-1

2x+1

-lnx，∵g（1）=

1

3

-0=

1

3

＞0，
g（3）=

23-1

23+1

-ln3=

7

9

-ln3＜0，
所以，方程 f（x）-lnx=0 至少有一根在区间（1，3）上．

点评：本题考查函数奇偶性、单调性的判断方法，方程根的存在性及根的个数判断．