题目内容
已知函数f（x）=ln2（1+x）-
。
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若不等式（1+
）n+a≤e对任意的n∈N*都成立（其中e是自然对数的底数）。求a的最大值。
。（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若不等式（1+
）n+a≤e对任意的n∈N*都成立（其中e是自然对数的底数）。求a的最大值。解：（1）函数f（x）的定义域是
设
则
令
则
当
时，
在（-1，0）上为增函数
当x＞0时，
在
上为减函数
所以h（x）在x=0处取得极大值，而h（0）=0
所以
函数g（x）在
上为减函数
于是当
时，
当x＞0时，
所以，当
时，
在（-1，0）上为增函数
当x＞0时，
在
上为减函数
故函数f（x）的单调递增区间为（-1，0），单调递减区间为
。
（2）不等式
等价于
由
知
设
则
由（1）知
即
所以
于是G（x）在
上为减函数
故函数G（x）在
上的最小值为
所以a的最大值为
。
设
则
令
则
当
时，在（-1，0）上为增函数当x＞0时，
在上为减函数所以h（x）在x=0处取得极大值，而h（0）=0
所以
函数g（x）在
上为减函数于是当
时，当x＞0时，
所以，当
时，在（-1，0）上为增函数当x＞0时，
在上为减函数故函数f（x）的单调递增区间为（-1，0），单调递减区间为
。（2）不等式
等价于由
知设
则
由（1）知
即所以
于是G（x）在上为减函数故函数G（x）在
上的最小值为所以a的最大值为
。
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