题目内容
如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形PA⊥平面ABCD，AP=AB，BP=BC=2，E，F分别是PB，PC的中点．
（Ⅰ）证明：EF∥平面PAD；
（Ⅱ）求三棱锥E﹣ABC的体积V．
（Ⅰ）证明：EF∥平面PAD；
（Ⅱ）求三棱锥E﹣ABC的体积V．
解:（Ⅰ）在△PBC中，E，F分别是PB，PC的中点，
∴EF∥BC．
又BC∥AD，
∴EF∥AD，
又∵AD
平面PAD，EF
平面PAD，
∴EF∥平面PAD；
（Ⅱ）连接AE，AC，EC，过E作EG∥PA交AB于点G，
则BG⊥平面ABCD，且EG=
PA．
在△PAB中，AP=AB，∠PAB=90°，BP=2，
∴AP=AB=
，EG=
．
∴S△ABC=
AB·BC=
×
×2=
，
∴VE﹣ABC=
S△ABCEG=
×
×
=
．
∴EF∥BC．
又BC∥AD，
∴EF∥AD，
又∵AD
平面PAD，EF平面PAD，∴EF∥平面PAD；
（Ⅱ）连接AE，AC，EC，过E作EG∥PA交AB于点G，
则BG⊥平面ABCD，且EG=
PA．在△PAB中，AP=AB，∠PAB=90°，BP=2，
∴AP=AB=
，EG=．∴S△ABC=
AB·BC=××2=，∴VE﹣ABC=
S△ABCEG=××=．
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