Question

（2013•茂名一模）已知椭圆C1：

x2

a2

+

y2

b2

=1   (a＞b＞0)的离心率为

3

3

，连接椭圆的四个顶点得到的四边形的面积为2

6

．
（1）求椭圆C₁的方程；
（2）设椭圆C₁的左焦点为F₁，右焦点为F₂，直线l₁过点F₁且垂直于椭圆的长轴，动直线l₂垂直l₁于点P，线段PF₂的垂直平分线交l₂于点M，求点M的轨迹C₂的方程；
（3）设O为坐标原点，取C₂上不同于O的点S，以OS为直径作圆与C₂相交另外一点R，求该圆面积的最小值时点S的坐标．

Answer 1

分析：（1）利用椭圆的离心率、参数a、b、c的关系及菱形的面积计算公式即可得出；
（2）利用线段的垂直平分线、抛物线的定义即可得出；
（3）利用向量的垂直与数量积的关系、基本不等式的性质、二次函数的单调性即可得出．

解答：解：（1）由题意可知

c a = 3 3 a2=b2+c2 1 2 ×2a×2b=2 6

解得

a= 3 b= 2 c=1

所以椭圆C₁的方程是

x2

3

+

y2

2

=1．
（2）∵|MP|=|MF₂|，∴动点M到定直线l₁：x=-1的距离等于它到定点F₂（1，0）的距离，
∴动点M的轨迹C₂是以l₁为准线，F₂为焦点的抛物线，
所以点M的轨迹C₂的方程y²=4x．
（3）∵以OS为直径的圆C₂相交于点R，∴以∠ORS=90°，即

OR

•

RS

=0．
设S （x₁，y₁），R（x₂，y₂），

SR

=(x2-x1，y2-y1)，

OR

=(x2，y2)．
∴

OR

•

SR

=x₂（x₂-x₁）+y₂（y₂-y_1）=

y 2 2 ( y 2 2 - y 2 1 )

16

+y2(y2-y1)=0，
∵y₁≠y₂，y₂≠0，化简得y1=-(y2+

16

y2

)，
∴

y

2 1

=

y

2 2

+

256

y 2 2

+32≥2

y 2 2 • 256 y 2 2

+32=64，
当且仅当

y

2 2

=

256

y 2 2

，即

y

2 2

=16，y₂=±4时等号成立．
圆的直径|OS|=

x 2 1 + y 2 1

=

y 4 1 16 + y 2 1

=

1

4

y 4 1 +16 y 2 1

=

1

4

( y 2 1 +8)2-64

，
∵

y

2 1

≥64，∴当

y

2 1

=64，y₁=±8，|OS|min=8

5

，
所以所求圆的面积的最小时，点S的坐标为（16，±8）．

点评：熟练掌握圆锥曲线的定义及其性质、线段的垂直平分线、菱形的面积计算公式、向量的垂直与数量积的关系、基本不等式的性质、二次函数的单调性是解题的关键．