Question

如图，动物园要围成相同的长方形（无盖）虎笼四间，一面可以用原有的墙，其他各面用钢丝网围成．
（1）若使每间虎笼面积为24m²，则每间虎笼的长和宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢丝网总长度最小？
（2）若现有36m长钢丝网，则每间虎笼的长和宽各设计为多少时，可使每间虎笼的面积最大？

Answer 1

分析：（1）设每间虎笼长为x米，宽为 y米，每间虎笼的面积为S，则由条件知S=xy=24，利用基本不等式求4x+5y的最小值．
（2）设每间虎笼长为x米，宽为 y米，则由条件知4x+5y=36，设每间虎笼的面积为S，则利用基本不等式求S=xy的最大值．

解答：解：（1）设每间虎笼长为x米，宽为 y米，每间虎笼的面积为S，则由条件知S=xy=24．
设钢筋网总长为l，则l=4x+5y≥4×2

xy

=16

6

≥2

20xy

=8

30

当且仅当4x=5y，即x=

30

，y=

4

5

30

时等号成立．
故每间虎笼长

30

m，宽

4

5

30

m，可使钢筋网总长最小．
（2）设每间虎笼长为x米，宽为 y米，则由条件知4x+5y=36，设每间虎笼的面积为S，则S=xy．
根据4x+5y=36≥2

20xy

，∴S≤

81

5

，当且仅当4x=5y，即x=

9

2

，y=

18

5

时等号成立．
故每间虎笼长为4.5 m，宽为3.6 m时，可使面积最大．

点评：本题以实际问题为载体，考查基本不等式的运用，解题的关键是寻求每间虎笼长与宽的关系，进而利用基本不等式．