Question

16．已知椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1，（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁，F₂，P是短轴的一个顶点，△PF₁F₂是顶角为$\frac{2}{3}$π且面积为$\sqrt{3}$的等腰三角形．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点A（-a，0）斜率为k的直线交椭圆于点B．直线BO（O为坐标原点）交椭圆于另一点C．若$k∈[\frac{1}{2}，1]$，求△ABC的面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）由题意可得a=2b，c=$\sqrt{3}$b，运用三角形的面积公式，计算可得a，b，进而得到椭圆方程；
（2）设直线AB的方程为x+2=my（m=$\frac{1}{k}$），代入椭圆方程，求得B的坐标，由题意可得C的坐标，求出△ABC的面积，运用对勾函数的单调性，即可得到最大值．

解答 解：（1）由题意可得a=2b，c=$\sqrt{3}$b，
△PF₁F₂的面积S=$\frac{1}{2}$•2$\sqrt{3}$b•b=$\sqrt{3}$，
得b=1，c=$\sqrt{3}$，a=2，
所以椭圆的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1；
（2）设直线AB的方程为x+2=my（m=$\frac{1}{k}$）
代入椭圆方程得（m²+4）y²-4my=0，
可得B（$\frac{2{m}^{2}-8}{{m}^{2}+4}$，$\frac{4m}{4+{m}^{2}}$），C（-$\frac{2{m}^{2}-8}{4+{m}^{2}}$，-$\frac{4m}{4+{m}^{2}}$）
△ABC的面积S=$\frac{1}{2}$•2•$\frac{8m}{4+{m}^{2}}$=$\frac{8}{m+\frac{4}{m}}$，
令f（m）=m+$\frac{4}{m}$，f′（m）=1-$\frac{4}{{m}^{2}}$（1≤m≤2），
f′（m）≤0，f（m）=m+$\frac{4}{m}$在[1，2]上单调递减，
所以当m=2时，△ABC的面积的最大值为2．

点评 本题考查椭圆的方程和性质，主要考查椭圆方程的运用，联立直线方程，求得交点，同时考查三角形的面积公式和对勾函数的单调性的运用，属于中档题．