Question

a、b∈R，且|a|＜1，|b|＜1，则无穷数列：1，（1+b）a，（1+b+b²）a²，…，（1+b+b²+…+b^n-1）a^n-1…的和为（　　）

A． 1 (1-a)(1-b)

B． 1 1-ab

C． 2 (1-a)(1-ab)

D． 1 (1-a)(1-ab)

Answer 1

∵a_n=（1+b+b²+…+b^n-1）a^n-1
=

1-bn

1-b

•a^n-1
=

1

1-b

（a^n-1-a^n-1bⁿ），
∵|a|＜1，|b|＜1，
∴无穷数列：1，（1+b）a，（1+b+b²）a²，…，（1+b+b²+…+b^n-1）a^n-1…的和：
S=

lim

n→∞

1

1-b

[

1-an

1-a

-

b(1-anbn)

1-ab

]
=

lim

n→∞

[

1

(1-b)(1-a)

-

an

(1-b)(1-a)

-

b

(1-b)(1-ab)

+

b

(1-a)(1-ab)

•(ab)n]
=

1

(1-b)(1-a)

-

b

(1-b)(1-ab)

=

1-ab-b(1-a)

(1-b)(1-a)(1-ab)

=

1

(1-a)(1-ab)

，
故选D．