Question

已知数列{a_n}中，a₁=

1

2

，a_n=1-

1

an-1

 （n≥2），则S₂₀₀₉=

1003

．

Answer 1

分析：依题意，可求得a₂=-1，a₃=2，…利用其周期性即可求得S₂₀₀₉的值．

解答：解：∵a₁=

1

2

，a_n=1-

1

an-1

 （n≥2），
∴a₂=1-

1

1 2

=1-2=-1；
a₃=1-

1

a2

=1-（-1）=2；
同理可求a₄=

1

2

，a₅=-1，a₆=2…
∴数列{a_n}是以3为周期的数列，S₃=

1

2

-1+2=

3

2

．
∴S₂₀₀₉=S₂₀₀₇+a₂₀₀₈+a₂₀₀₉
=669S₃+a₁+a₂
=669×

3

2

+

1

2

-1
=1003．
故答案为：1003．

点评：本题考查数列的求和，考查函数的周期性，求得前三项（一个周期）的和为

3

2

是关键，考查分析与运算能力，属于中档题．