Question

已知对?x，y＞0，有f（x，x）=x，f（x，y）=f（y，x），（x+y）f（x，y）=yf（x，x+y）
（1）求f（1，4），f（2，8）的值；
（2）求f（1，n），f（2，2ⁿ），其中n∈N^*；
（3）求证：f（2，2ⁿ）＞f（1，n）对?n∈N^*恒成立．

Answer 1

分析：（1）对?x，y＞0，有f（x，x）=x，由（x+y）f（x，y）=yf（x，x+y）可得：f（x，x+y）=

x+y

y

•f（x，y），由此式可求得f（1，4），f（2，8）的值；
（2）由（1）可求得f（1，n）=n，f（2，2ⁿ）=2ⁿ；
（3）用数学归纳法可证：当n=1时易证，设n=k时有2^k＞k，当n=k+1时，易证2^k+1=2×2^k＞2k=k+k＞k+1成立．

解答：解：由条件有：f(x，x+y)=

x+y

y

f(x，y)，
（1）∴f(1，4)=

4

3

f(1，3)=

4

3

×

3

2

f(1，2)=

4

3

×

3

2

×

2

1

f(1，1)=4；
∴f(2，8)=

8

6

f(2，6)=

8

6

×

6

4

 ×

4

2

f(2，2)=8．
（2）由（1）知：
     f(1，n)=

n

n-1

×

n-1

n-2

×…×

2

1

f(1，1)=n，
     f(2，2n)=

2n

2n-2

×

2n-2

2n-4

×…×

4

2

f(2，2)=2n；
（3）由（2）知：即求证：2ⁿ＞n对?n∈N^*恒成立
证明如下：
（1）当n=1时，2¹＞1显然成立
（2）当n＞1时，设n=k时成立，即：2^k＞k，
那么当n=k+1时，2^k+1=2×2^k＞2k=k+k＞k+1成立．
由（1）和（2）命题对?n∈N^*恒成立．

点评：本题考查抽象函数及其用，难点在于对“（x+y）f（x，y）=yf（x，x+y）变为：f（x，x+y）=

x+y

y

•f（x，y）”及其灵活应用，属于中档题．