Question

已知函数的最小正周期为T=6π，且f（2π）=2．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）设α，β∈[0，]，，，求cos（α-β）的值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由函数的最值求出A，由周期求出ω，从而求得函数的解析式．
（Ⅱ）由 f（3α+π）=，利用诱导公式求得cosα的值，可得sinα的值．由求得sinβ，可得cosβ，再利用两角和差的余弦公式求得cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ的值．
解答：解：（Ⅰ）依题意得=6π，ω=．…（2分）
∴．再由f（2π）=2得 ，即 Asin=2，
∴A=4，…（4分）
∴…（6分）
（Ⅱ）由 f（3α+π）=得 ，即
∴cosα=，又∵α∈[0，]，∴sinα=．．   …（8分）
由得，即 sin（β+π）=-，
∴sinβ=，又∵β∈[0 ]，∴cosβ=． …（10分）
从而cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ=+=． …（12分）
点评：本题主要考查两角和差的正弦、余弦公式的应用，同角三角函数的基本关系，由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，属于中档题．