Question

设f(x)是定义域为(-∞，0)∪(0，+∞)的奇函数，且它在区间(-∞，0)上单调增。
（1）用定义证明：f(x)在(0，+∞)上的单调性；
（2）若mn＜0且m+n＜0，试判断f(m)+f(n)的符号；
（3）若f(1)=0，解关于x的不等式f[log_a(x-1)+1]＞0。

Answer 1

（1）证明：设，且，
则，且，
由已知函数在(-∞，0)上单调递增，得：，
又函数是奇函数，有，即，
得到：，所以函数在(0，+∞)上递增函数。
（2）解：不妨设m＞0，n＜0，
则由已知m+n＜00＜m＜-n，
已知函数在(0，+∞) 上递增，
故有：f(m)＜f(-n)=-f(n)，得f(m)+f(n)＜0。
（3）由及函数在(-∞，0)和(0，+∞)上递增，
可知：或，
即或，
当a＞1时，x＞2或；
当0＜a＜1时，1＜x＜2或；
综上所述：当a＞1时，不等式的解集为{x| x＞2或}；
当0＜a＜1时，不等式的解集为{x|1＜x＜2或}。