题目内容
在平面直角坐标系xOy中，点B与点A(－1,1)关于原点O对称，P是动点，且直线AP与BP的斜率之积等于－
.
(1)求动点P的轨迹方程；
(2)设直线AP和BP分别与直线x＝3交于点M，N，问：是否存在点P使得△PAB与△PMN的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
解：(1)因为点B与点A(－1,1)关于原点O对称，所以点B的坐标为(1，－1)．
设点P的坐标为(x，y)，
由题意得
·＝－，
化简得x2＋3y2＝4(x≠±1)．
故动点P的轨迹方程为x2＋3y2＝4(x≠±1)．
(2)若存在点P使得△PAB与△PMN的面积相等，设点P的坐标为(x0，y0)．
则
|PA|·|PB|sin∠APB＝|PM|·|PN|sin∠MPN.
因为sin∠APB＝sin∠MPN，
所以
＝
.
所以
＝
.
即(3－x0)2＝|x
－1|，解得 x0＝
.
因为x＋3y＝4，所以y0＝±
.
故存在点P使得△PAB与△PMN的面积相等，此时点P的坐标为(，±)．
练习册系列答案
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