题目内容
（2009•山东模拟）已知α为锐角，向量
=（sinα，cosα），
=（cos2α，sin2α），且
⊥
（1）求α的值．
（2）若
=2
+2
，
=2
+2
，求向量
与
的夹角的余弦值．
| a |
| b |
| a |
| b |
（1）求α的值．
（2）若
| x |
| 3 |
| a |
| b |
| y |
| a |
| 3 |
| b |
| x |
| y |
分析：（1）根据数量积的坐标运算公式，结合向量
、
互相垂直，得
•
=sin3α=0，结合α为锐角，得3α=π，可得α=
；
（2）由向量模的公式，可得向量
、
的模均为1，可得
•
=（2
+2
）（2
+2
）=8
，再计算出向量
与
的模都等于4，结合两个向量的夹角公式即可算出
与
的夹角的余弦值．
| a |
| b |
| a |
| b |
| π |
| 3 |
（2）由向量模的公式，可得向量
| a |
| b |
| x |
| y |
| 3 |
| a |
| b |
| a |
| 3 |
| b |
| 3 |
| x |
| y |
| x |
| y |
解答：解：（1）∵
⊥
，
=（sinα，cosα），
=（cos2α，sin2α），
∴
•
=sinαcos2α+cosαsin2α=0，即sin3α=0
∵α为锐角，得3α∈（0，
）
∴3α=π，可得α=
（2）∵α=
，得
=（sinα，cosα）=（
，
），
=（cos2α，sin2α）=（-
，
），
∴|
|=|
|=1，且
•
=0
因此，
•
=（2
+2
）（2
+2
）
=4
2+16
•
+4
2=8
而且|
|=
=4，|
|=
=4
设向量
与
的夹角为θ，可得cosθ=
=
=
即向量
与
的夹角的余弦值为
．
| a |
| b |
| a |
| b |
∴
| a |
| b |
∵α为锐角，得3α∈（0，
| 3π |
| 2 |
∴3α=π，可得α=
| π |
| 3 |
（2）∵α=
| π |
| 3 |
| a |
| ||
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| b |
| 1 |
| 2 |
| ||
| 2 |
∴|
| a |
| b |
| a |
| b |
因此，
| x |
| y |
| 3 |
| a |
| b |
| a |
| 3 |
| b |
=4
| 3 |
| a |
| a |
| b |
| 3 |
| b |
| 3 |
而且|
| x |
(2
|
| b |
(2
|
设向量
| x |
| y |
| ||||
|
|
8
| ||
| 4×4 |
| ||
| 2 |
即向量
| x |
| y |
| ||
| 2 |
点评：本题给出两个向量含有三角函数的坐标形式，求它们的线性组合向量的夹角余弦之值，着重考查了平面向量数量积的运算、两角和的正弦函数公式和向量夹角公式等知识，属于基础题．
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