Question

已知圆锥的正视图是边长为2的正三角形，O是底面圆心．
（Ⅰ）求圆锥的侧面积；
（Ⅱ）经过圆锥的高AO的中点O′作平行于圆锥底面的截面，求截得的两部分几何体的体积比．

Answer 1

分析：（I）先利用正视图正三角形的性质，计算圆锥的底面半径和母线长，再利用圆锥的侧面积计算公式即可得圆锥的侧面积；
（II）利用圆锥的体积计算公式，先算小圆锥的体积，再用大圆锥的体积减小圆锥的体积，即可得圆台的体积，进而得两部分体积之比

解答：解：（Ⅰ）由题意得圆锥底面半径r=1，母线长l=2．∴S_侧=πrl=2π．
（Ⅱ）设圆锥的高为h，则h=

3

，r=1，
∴小圆锥的高h′=

3

2

，小圆锥的底面半径r′=

1

2

，
∴V圆锥=

1

3

Sh=

3

3

π．V小圆锥=

1

3

S′h′=

3

24

π．
∴V_圆台=V_圆锥-V_小圆锥=

1

3

Sh-

1

3

S′h′=

3 π

3

-

3 π

24

=

7 3 π

24

．
∴

V小圆锥

V圆台

=

1

7

．

点评：本题主要考查了圆锥的侧面积计算公式，圆锥的体积计算公式，圆台体积的计算方法，求分割几何体的体积之比的计算方法，属基础题