Question

如图，在四棱锥中，，，为正三角形，且平面平面．

（1）证明：；

（2）求二面角的余弦值．

 

Answer 1

（1）证明见解析；（2） ．

【解析】

试题分析：（1）取的中点，然后利用矩形及正三角形的性质可证明，，从而可证明结果；（2）可考虑分别以，为轴，轴，轴建立空间直线坐标系，通过求两个平面的法向量的夹角来求二面角的余弦值．或考虑通过过点作，然后证明为所求二面角的一个平面角，再在中进行计算．

（1）证明：取的中点，连接，

∵为正三角形，∴．

又∵在四边形中，

，∴,且，

∴四边形ABCO为平行四边形，∴ ，

∴，∴．

（2）(法一)：由（1）知，且平面平面∴平面，所以分别以，为轴，轴，轴建立如图，

所示的直角坐标系，并设，则，,

∴，，，，，

∴，,, ．

设平面，平面的法向量分别为，

则∴

∴分别取平面，平面的一个法向量，

∴，

∴二面角的余弦值为．

(法一)：由（1）知，且平面平面，∴平面，

过点作，垂足为，连接，则，于是为所求二面角的一个平面角，

设，则，，，

∴∴二面角的余弦值为．

考点：1、空间直线与平面的垂直关系；2、空间向量的应用；3、二面角．