Question

等差数列{a_n}的前n项和为S_n，公差为d，已知(a8+1)3+2013(a8+1)=1，(a2006+1)3+2013(a2006+1)=-1，则下列结论正确的是（　　）

• A、d＜0，S₂₀₁₃=2013
• B、d＞0，S₂₀₁₃=2013
• C、d＜0，S₂₀₁₃=-2013
• D、d＞0，S₂₀₁₃=-2013

Answer 1

分析：由题意可得 a₈+1＞0，a₂₀₀₆+1＜0，且 d＜0．把2个已知等式相加，利用立方和公式化简可得 a₈+a₂₀₀₆+2=0，再根据S₂₀₁₃=

2013(a8+a2006)

2

，计算求得结果．

解答：解：已知(a8+1)3+2013(a8+1)=1 ①，
(a2006+1)3+2013(a2006+1)=-1 ②，
∴a₈+1＞0，a₂₀₀₆+1＜0，且 d＜0．
①+②可得 （a₈+a₂₀₀₆+2）[(a8+1)2-（a₈+1）（a₂₀₀₆+1）+(a2006+1)2+2013]=0，
由于 (a8+1)2-（a₈+1）（a₂₀₀₆+1）+(a2006+1)2+2013＞0，
∴a₈+a₂₀₀₆+2=0，
∴S₂₀₁₃=

2013(a1+a2013)

2

=

2013(a8+a2006)

2

=

2013(-2)

2

=-2013，
故选：C．

点评：本题主要考查立方和公式、等差数列的定义及前n项和公式的应用，属于中档题．