Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，且s_n=2a_n-2ⁿ⁺¹，n∈N^*．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）令b_n=

an

n+1

-

n+1

an

，记数列{

1

bn

}的前n项和为T_n．求证：T_n＜

4

3

，n∈N^*．

Answer 1

分析：（1）利用公式an=

S1，n=1 Sn-Sn-1，n≥2

，即可确定a_n与a_n-1的关系，从而构造新数列{

an

2n

}为等差数列，利用等差数列求通项公式

an

2n

，从而得到答案；
（2）根据a_n的通项公式，可以得到b_n的通项公式，即可确定

1

bn

的通项公式，然后利用放缩法，即可证明结论．

解答：解：（1）∵S_n=2a_n-2ⁿ⁺¹，n∈N^*，①
∴S₁=2a₁-2¹⁺¹，解得a₁=4，
当n≥2时，S_n-1=2a_n-1-2ⁿ，②
①-②，可得S_n-S_n-1=（2a_n-2ⁿ⁺¹）-（2a_n-1-2ⁿ），即a_n=2a_n-2a_n-1-2，
∴a_n-2a_n-1=2ⁿ，
∴

an

2n

-

an-1

2n-1

=1，{

an

2n

}是以1为公差的等差数列，
∵

a1

21

=2，∴

an

2n

=2+（n-1）=n+1，
∴a_n=（n+1）2ⁿ；
（2）∵b_n=

an

n+1

-

n+1

an

，a_n=（n+1）2ⁿ，
∴b_n=2ⁿ-

1

2n

，T_n=

1

b1

+

1

b2

+…+

1

bn

，
∵2ⁿ-

1

2n

=2（2^n-1-

1

2n+1

）＞2（2^n-1-

1

2n-1

），
∴b_n＞2b_n-1，
∴

1

bn

＜

1

2

1

bn-1

（n≥2），
当n≥2时，T_n=

1

b1

+

1

b2

+…+

1

bn

＜

1

b1

+

1

2

（

1

b1

+

1

b2

+…+

1

bn-1

）＜

1

b1

+

1

2

T_n，
∴T_n＜

2

b1

=

4

3

，
当n=1时，T₁=

1

b1

=

2

3

＜

4

3

．
综上，T_n＜

4

3

．

点评：本题考查了数列的去通项公式，数列的求和，以及数列与不等式的综合应用．在求数列通项公式时，要注意观察题中所给式子的特点，判断用什么方法求数列的通项公式，本题所给表达式中含有S_n与a_n，从而确定应用an=

S1，n=1 Sn-Sn-1，n≥2

解题．属于中档题．