Question

已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₄=9，S₅=35
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）记b_n=

1

Sn

，求数列{b_n}的前n项和T_n
（3）对任意正整数n，不等式

an+1

(1+ 1 a1 ) (1+ 1 a2 ) …(1+ 1 an )

-

an

2n+3

≤0成立，求正数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）利用等差数列的通项及前n项和公式可求；
（2）先求得S_n=n²+2n，，从而可表示

1

Sn

=

1

2

(

1

n

-

1

n+2

)，利用裂项求和法易求；
（3）先分离参数为a≤

(1+ 1 3 )(1+ 1 5 )(1+ 1 2n+1 )

2n+3

，再构造函数，利用函数的最小值解决恒成立问题．

解答：解：（1）由已知可得a₁=3，d=2，∴a_n=2n+1
（2）由（1）得S_n=n²+2n，b_n=

1

Sn

=

1

2

(

1

n

-

1

n+2

)，∴Tn=

1

2

(1-

1

3

+

1

2

-

1

4

++

1

n

-

1

n+2

)=

3n2+5n

4(n+1)(n+2)

；
（3）由已知得a≤

(1+ 1 3 )(1+ 1 5 )(1+ 1 2n+1 )

2n+3

，
设cn =

(1+ 1 3 )(1+ 1 5 )(1+ 1 2n+1 )

2n+3

，则

cn+1

cn

=

2n+4

2n+5 2n+3

＞1，
∴数列{c_n}递增，∴c_n的最小值为c₁=

4 5

15

，
∴只需0＜a≤

4 5

15

点评：本小题主要考查数列的求和、函数单调性的应用、数列与不等式的综合等基础知识，考查运算求解能力，考查方程思想、化归与转化思想