Question

已知函数f(x)=

3

x-2

．
（1）判断该函数在区间（2，+∞）上的单调性，并给出证明；
（2）求该函数在区间[3，6]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（1）利用函数单调性的定义证明函数的单调性．（2）利用函数的单调性求函数的最值．

解答：解：（1）任设两个变量2＜x₁＜x₂，则f(x1)-f(x2)=

3

x1-2

-

3

x2-2

=

3(x2-x1)

(x1-2)(x2-2)

，
因为2＜x₁＜x₂，所以x₂-x₁＞0，（x₁-2）（x₂-2）＞0，所以f（x₁）-f（x₂）＞0，f（x₁）＞f（x₂）．
所以函数f(x)=

3

x-2

在区间（2，+∞）上的单调递减，是减函数．
（2）因为函数f(x)=

3

x-2

在区间[3，6]上的单调递减，所以函数的最大值为f（3）=3．
最小值为f（6）=

3

4

．

点评：本题主要考查函数单调性的判断以及利用单调性求函数的最值问题．