Question

如下图，球O的截面BCD把垂直于该截面的直径分成1∶3两部分，BC是截面圆的直径，D是圆周上一点，CA是球O的直径.

（1）求证：平面ABD⊥平面ADC；

（2）如果球半径为，D分弧BC为两部分，且弧BD∶弧DC=1∶2，求AC与BD所成的角以及AC与BD的距离.

Answer 1

（1）证明：∵CA是球O的直径，D为球面上一点，

∴△ADC在此球的大圆上，

∴CD⊥AD.

又BC是截面圆的直径，

∴CD⊥BD.

又AD∩BD=D，

∴CD⊥平面ABD.

又∵CD平面ACD，

∴平面ABD⊥平面ADC.

（2）解析：设OO₁=d，过C作CG∥BD交⊙O₁于G，连结BG，则BG∥CD，

∴∠ACG即为AC与BD所成的角，

由已知条件，可得d=R，

∴AB=2d=R,BC=2R×=R.

又D分弧BC为1∶2，

∴∠BCD=30°,

∴∠BO₁D=60°，

∴BD=BC·sin30°=R,

DC=BC·cos30°=R.

在Rt△ACG中，

cosACG=，

∴∠ACG=arccos，

即AC与BD所成角为arccos，

过B作BH⊥AG于H，

∵BD∥平面ACG，平面BAG⊥平面ACG，

∴BH为AC与BD的距离.

∴BH=.

∵R=,

∴BH=3.