题目内容

已知函数f（x）= $数学公式$ ，其中 $数学公式$ ， $数学公式$ ，且w为正实数．
（1）求f（x）的最小值；
（2）对任意m∈R，函数y=f（x），x∈[m，m+4π]的图象与直线2y+1=0有且仅有一个交点，试判断函数f（x+ $数学公式$ ）的奇偶性，并说明理由．

解：（1）∵ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ =（ $\text{[math]}$ siωx+cosωx，1），
函数 f（x）= $\text{[math]}$ =cosωx（ $\text{[math]}$ sinωx+cosωx）+0= $\text{[math]}$ sinωx•cosωx+cos²ωx
= $\text{[math]}$ sin2ωx+ $\text{[math]}$ =sin（2ωx+ $\text{[math]}$ ）+ $\text{[math]}$ ．
故函数 f（x）的最小值为-1+ $\text{[math]}$ =- $\text{[math]}$ ．
（2）由题意可得，函数的周期为4π，故 $\text{[math]}$ =4π，ω= $\text{[math]}$ ．
∴f（x+ $\text{[math]}$ ）=sin（ $\text{[math]}$ x+ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ）+ $\text{[math]}$ =cos（ $\text{[math]}$ ）+ $\text{[math]}$ =cos（- $\text{[math]}$ ）+ $\text{[math]}$ ，x∈R，
故函数f（x+ $\text{[math]}$ ）为偶函数．
分析：（1）利用两个向量的数量积公式，两角和的正弦公式化简函数f（x）=sin（2ωx+ $\text{[math]}$ ）+ $\text{[math]}$ ，由此求得它的最小值．
（2）由题意可得，函数的周期为4π，由此求得ω的值，化简函数f（x+ $\text{[math]}$ ）的解析式cos（ $\text{[math]}$ ）+ $\text{[math]}$ ，可得函数为偶函数．
点评：本题主要考查两个向量的数量积公式，两角和的正弦公式，余弦函数的奇偶性，诱导公式的应用，属于中档题．