Question

过抛物线y²=4x的准线与对称轴的交点作直线,交抛物线于M、N两点,问直线的倾斜角多大时,以线段MN为直径的圆经过抛物线的焦点?

Answer 1

直线的倾斜角为arctan或π-arctan.

解析:

∵p=2,∴抛物线y²=4x的准线方程为x=-1,与对称轴交点为(-1,0).

设过点(-1,0)的直线方程为y=k(x+1),代入y²=4x,并整理得k²x²+(2k²-4)x+k²=0.

设M(x₁,y₁)、N(x₂,y₂),

则x₁+x₂=,x₁x₂=1,

∴y₁y₂=k(x₁+1)·k(x₂+1)=k²(x₁x₂+x₁+x₂+1)=4.

又∵以MN为直径的圆过抛物线y²=4x的焦点F(1,0),

∴.

∴=0.

∴(x₁-1)(x₂-1)+y₁y₂=0,

即x₁x₂-(x₁+x₂)+1+y₁y₂=0.

∴1-+1+4=0.

解得k=±.

∴直线的倾斜角为arctan或π-arctan.