Question

已知函数f（x）=

1+lnx

x

（x≥1）．
（Ⅰ）试判断函数f（x）的单调性，并说明理由；
（Ⅱ）若f（x）≥

k

x+1

恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析：（I）求导函数，确定导函数的符号，可得函数的单调性；
（II）f（x）≥

k

x+1

恒成立，即

(x+1)(1+lnx)

x

≥k恒成立，确定左边对应函数的最小值，即可求得k的范围．

解答：解：（I）求导函数，可得f′(x)=-

lnx

x2

∵x≥1，∴lnx≥0，∴f′（x）≤0
∴f（x）在[1，+∞）上单调递减；
（II）f（x）≥

k

x+1

恒成立，即

(x+1)(1+lnx)

x

≥k恒成立，
记g（x）=

(x+1)(1+lnx)

x

，则g′（x）=

x-lnx

x2

再令h（x）=x-lnx，则h′（x）=1-

1

x

∵x≥1，∴h′（x）≥0，∴h（x）在[1，+∞）上单调递增．
∴[h（x）]_min=h（1）=1＞0，从而g′（x）＞0  
故g（x）在[1，+∞）上也单调递增
∴[g（x）]_min=g（1）=2
∴k≤2．

点评：本题主要考查函数的单调性的判断和已知单调性求参数的取值范围．求函数的单调性时，要注意函数的定义域，而恒成立问题，一般转化为最值问题解决．